本文主要是先阐述传统Gardner算法的原理，然后给出改进后的设计和FPGA实现方法，最后对结果进行仿真和分析，证明该设计方案的正确、可行性。
0 引言
数字通信中，位同步性能直接影响接收机的好坏，是通信技术研究的重点和热点问题。通信系统中，接收端产生与发送基带信号速率相同，相位与最佳判决时刻一致的定时脉冲序列，该过程即称为位同步。常见的位同步方法包括滤波法和鉴相法。滤波法对接收波形进行变换，使之含有位同步信息，再通过窄带滤波器滤出，缺点是只适用于窄带信号。最为常用的位同步方法是鉴相法，包括锁相法和内插法两种。锁相法采用传统锁相环，需要不断调整本地时钟的频率和相位，不适合宽速率范围的基带码元同步。而内插法则利用数字信号的内插原理，通过计算直接得到最佳判决点的值和相位。
Gardner算法即是基于内插法的原理，通过定时环路调整内插计算的参数，从而跟踪和锁定位同步信号，该算法的优点在于不需要改变本地采样时钟，可以适应较宽速率范围内的基带信号，因而具有传统方法不可替代的优势。Gardner算法的实现方法，为算法的应用提供了基础。Farrow结构非常适合实现Gardner算法的核心，即内插滤波器部分，其优点是资源占用较少，且滤波器系数实时计算，便于内插参数调整。定时误差检测，但在定时误差检测时需要信号中存在判定信息，并且对载波相位偏差敏感。不足进行了改进，提出了GA-TED(Gardner Timing Error Detection)算法，其优点是不需要预知判定信息，且独立于载波同步，并且适合FPGA 实现。改进的Gardner 算法，并将其应用于M-PSK 系统。提高了Gardner 算法的抗自噪声能力，即降低了对本地时钟的要求。
本文基于FPGA 平台并采用Gardner 算法设计，其中，内插滤波器采用Farrow 结构，定时误差检测采用GA-TED算法。同时对传统Gardner算法结构进行了改进，使环路滤波器和NCO的参数可由外部控制器设置，以适应不同速率的基带码元，实现通用的位同步器的设计方案。此外，本设计方案还对FPGA 代码进行了优化，节省了大量硬件资源。最后进行了仿真和分析，给出了仿真结果，证实了该方案的可行性。
1 传统Gardner 算法与改进
1.1 传统Gardner算法基本原理
传统Gardner算法结构如图1所示。
在图1中，输入的连续时间信号x(t) 码元周期为T,频带受限。在满足奈奎斯特定理的条件下，接收端采用独立时钟对x(t) 进行采样。内插滤波器计算出内插值y(k)，送至定时环路进行误差反馈和参数调整，并与控制器输出的位同步脉冲BS一起送往解调器的抽样判决器。
定时环路包含定时误差检测、环路滤波器和控制器。定时误差检测提取插值时刻和最佳判决时刻的误差;该误差经环路滤波器滤除高频噪声后送给控制器;控制器计算插值时刻(即为位同步信号的2倍频)和误差间隔。插值时刻和误差间隔用于调整内插滤波器的系数，使插值时刻尽可能与最佳判决点同相，最终实现位同步信号的提取。
1.2 改进的Gardner算法结构
从上节可以看出，传统Gardner算法无法满足较宽速率范围基带信号的位同步要求。为实现该要求，本设计在FPGA 平台的基础上，对算法实现结构进行了改进，改进结构如图2所示。
图2中，内插滤波器采用Farrow结构的FIR 滤波器实现，滤波器系数实时计算;定时误差检测采用独立于载波且采样点较少的GA-TED 算法;环路滤波器、内部控制器可由外部控制器设置参数，基带码元速率变化时，相应参数可以随之变化。因此，本设计可以满足位同步器的通用性要求。
该同步器工作过程如下：外部控制器根据基带码元速率设置相应参数，通过外部控制器接口将控制、地址和数据信号分别送往分频器、环路滤波器和内部控制器。时钟电路分别提供采样时钟和FPGA 时钟，FPGA工作时钟在片内通过分频器产生所需频率的时钟，供FPGA 各模块使用。输入连续时间信号x(t) 经由独立时钟控制的ADC 进行采样，转换为8 位数字信号送至FPGA 内，符号化后变为有符号数字序列，送入内插滤波器模块。内插滤波器根据输入信号的采样值和内部控制器给出的参数μk,在每个插值时刻kTi 计算出最佳判决点的内插值y(kTi)。定时误差检测计算出误差μτ (n)，输出至环路滤波器。环路滤波器依据当前的参数设定，滤除噪声并将误差信息送给内部控制器。内部控制器以NCO为核心，根据处理后的误差信息和设定的频率字参数调整插值时刻kTi,使之尽可能接近最佳判决时刻，并输出位同步脉冲BS,同时计算出误差间隔μk 送给内插滤波器，进行内插值计算，最终完成定时信息的恢复。
2 FPGA设计
2.1 整体结构设计
根据图2的算法结构，FPGA设计采用模块化方式，整体结构的顶层图如图3所示。
从图3可以看到，该设计包含分频器(DIV_FRE)、符号化(SYM)、内插滤波器(INTERPOLATION)、定时误差检测(TED)、环路滤波器(LPF)、内部控制器(INTER_CTL)和外部控制器接口的时序电路(EXTER_CTL)共7个模块。其中，分频器由片外晶振提供时钟输入，分频后为片内其他模块提供相应时钟。其中码元时钟的分频系数可由外部控制器通过接口进行设置。符号化是将A/D采样产生的无符号数转换为有符号数，以便后续模块进行带符号的运算。
外部控制器接口的时序电路将外部控制器送来的控制信号(ALE和RD)、地址信号(P2.0、P2.1)和数据信号(P0口)、转换为FPGA 内分频器、环路滤波器和NCO的使能信号和参数，实现对位同步器各参数的设置。
分频器、符号化和外部控制器接口模块实现较为简单，不再赘述。而内插滤波器、定时误差检测、环路滤波器和内部控制器的实现较为复杂，且本设计通过采用相应算法和改进结构，实现了位同步器的通用性。本文将详细阐述这些模块的设计。
2.2 模块详细设计
2.2.1 内插滤波器设计
内插滤波器是完成算法的核心，它根据内插参数实时计算最佳判决点的内插值，即：
式中：mk 为内插滤波器基点索引，决定输入序列中哪些采样点参与运算，它由插值时刻kTi 确定;μk 为误差间隔，决定了内插滤波器的冲激响应系数[1].kTi 和μk 的信息由内部控制器反馈回来。
本设计的内插滤波器采用基于4 点分段抛物线多项式的Farrow结构实现。将式(1)变换为拉格朗日多项式，即令：
根据式(2)和(3)，内插滤波器程序实现结构如图4所示。
从图4可以看到，该结构由1个移位器、5个触发器、8个相加器、2个乘法器组成，比直接型FIR节省10个乘法器、4个相加器的资源。其中，除以2的运算采用数据移位实现，避免使用除法器。输入的8位数据x,计算后得到10位的内插值y 输出。由于内部所有寄存器经计算后，均采用最小位数，有效地减少了LogIC Elements资源的占用。
2.2.2 定时误差检测设计
定时误差检测程序采用独立于载波相位偏差的GA-TED算法。该算法每个符号周期只需要两个插值，每个码元周期输出一个误差信号μτ (n) ,即：
其中，y(n) 表示第n 个码元选通时刻的内插值，前后两个内插值的插值代表误差方向;y(n - 1 2) 表示第 n 个和第n - 1 个码元的中间时刻内插值，代表误差大小。
FPGA实现时，为避免乘法运算，采用y(n) 和y(n - 1)的符号来代替实际值[8],即采用式(5)计算误差信息：
