摘要：针对高中压配电网的特点，将电压/无功优化问题分解成电容器投切和变压器分接头调整两个子问题，通过这两个子问题的交替优化得到最终解。采用原对偶路径跟踪法求解逐次线性化的电容器投切优化问题时，适当简化电压约束，提高了求解速度。变压器调整则采用逐步调整策略实现电压控制和减少调整次数。另外，改进了前代后代法潮流算法使之能处理弱环网和变压器支路。最后，通过算例验证了该算法的有效性。
关键词：配电网络 电压/无功优化 线性规划 内点法 前代后代法
1前言
配电网电压无功优化是一个多变量、多约束混合非线性规划问题，优化方法主要有线性规划法［1，2］、非线性规划法［3］、动态规划法［4，5］和现代启发式搜索方法。非线性规划法具有较高的精度，但收敛性能有待提高。动态规划法和现代启发式搜索方法可以收敛于全局最优解，但计算时间随问题的规模急剧增加。线性规划法是一种非常成功的求解无功优化问题的方法，它的主要优点是收敛可靠，计算速度快，便于处理各种约束条件。而线性规划内点法具有多项式时间复杂性，适合解决大规模配电网的电压/无功优化问题。本文运用原对偶路径跟踪内点法解决电容器优化投切子问题，计算时适当简化了电压约束，提高了求解速度。
配电系统按电压等级可分为高压配电网(35~110kV)、中压配电网(6~10kV)、低压配电网(220~380kV)。在高中压配电网中，可通过投切电容器和调节变压器分接头达到电压无功优化的目的。根据高中压配电网具有弱环网或辐射状的特点，将优化问题分解成电容器投切和变压器分接头调节两个子问题，通过对两个子问题的交替优化来协调两者之间的耦合性，并得到最终最优解。另外，考虑到系统具有弱环网和存在变压器支路的情况，改进了前代后代法潮流算法。
2高中压配电网无功优化的数学模型
在高中压配电网中，变压器分接头的调节和电容器投切是电压无功控制的主要手段，事实上两种控制手段之间的耦合比较弱［2］，在实际系统中常常是分开进行的［2，6］。分接头变量对系统损耗的影响较小，可将优化问题分解为电容器投切和变压器分接头调整两个子问题［2，6］。对于电容器投切子问题，综合考虑了网损最小和电压水平最好两方面因素，为将这两部分目标函数值限制在同一数量级以便进行加权相加，对其进行了一些处理。而变压器分接头调整子问题以变压器分接头调整次数最少为目标。两个子问题的数学模型分别为式(1)和式(2)。
式（1）、（2）中：Ploss、Pload分别为系统有功损耗和系统总有功负荷；
分别为节点电压、节点电压期望值和节点电压上下限；λ、n分别为权系数和负荷节点数；V表示节点电压幅值组成的列向量矩阵；Q为可投切电容器容量列向量矩阵；K为非负整数列向量矩阵；N为非负整数集合；BC为电容器单台容量对角矩阵；T为可调变压器分接头档位列向量矩阵；式(1)、(2)中不等式约束包括节点电压、可投切电容器容量和变压器分接头上下限约束；等式约束为潮流约束f()。式(1)中目标函数由两部分组成，分别为相对有功损耗和相对电压偏差量，两部分之间不存在量纲问题，且数量等级基本相同。式(2)中目标函数为变压器分接头调整次数fT。
在优化计算时，两个子问题应协调进行。首先优化投切电容器，这将导致电压水平有一定的提高，所以可以适当放宽式(1)的电压约束；使变压器分接头调整有一定的调整空间。优化投切后，如果节点电压越限，分三种情况：只越上限，只越下限或同时越上下限，则相应修改式(2)的电压约束：减小电压上限值，提高下限值或缩短上下限范围，然后进行变压器分接头调整，这样使得下一次电容器优化投切在一个较好的电压水平上进行。两个子问题来回交替迭代，从而得到最终最优解。一般来回交叉迭代1~3次就可得到最终最优解。
3电容器投切优化的逐次线性内点法
3.1电容器投切优化的逐次线性化
将式(1)表示为在某一运行点的直角坐标系统下的对Q线性化的增量型模型。首先将状态变量电压的实部和虚部线性化，实际上就是潮流约束方程的线性化表达式，在此基础上可求出电压幅值矩阵V的线性化系数CV和目标函数中的有功损耗Ploss线性化系数Closs，具体的方法可参考文献［1］。目标函数中电压相对偏差量部分的线性化系数求法如下：依次对所有的Vi求导后 乘以CV中的相应的行得到n×m阶矩阵，再将这个矩阵每列元素求和即可得到电压相对偏差量线性化系数。令目标函数总的线性化系数为C，线性化的最大调节步长为对角矩阵Stp，可用如下的线性模型式(3)来近似模拟式(1)。
CT为目标函数系数。式(3)中上标T表示矩阵的转置，下同。式(4)是式(3)的约束条件上下限的取值调整式，已将ΔQ的上下限变换为x的上下限，e为单位列向量，式(3)实际上是对变量x的求解，x可以理解为线性化步长Stp的倍数列矩阵，因为Stp向上或向下调整的最大值，所以x取值不会超过［e,e］，经过这样变换之后，有利于下文中用内点法 求解时找到合理的初始可行解和减小初始对偶间隙。
在求线性化系数时关键是求系统的节点阻抗矩阵，而对于纯辐射型网络而言非常简单［1］。本文将系统视为一个整体，这样无需考虑环网是否只存在于单条馈线组内［2］，所以计算弱环系统的节点阻抗矩阵较为方便。首先解环，在纯辐射状态下求节点阻抗矩阵，然后运用支路追加法［7］进行修正。由于高中压配电网通常为辐射状或弱环网状，一条馈线上电压一般不可能同时越上限或下限，在选择较小的线性化的最大调节步长Stp的条件下，在逐次线性求解过程中ΔQ及电压的变化量CV·ΔQ相对较小，所以在本次线性优化过程中只需保证本馈线上前一次线性优化后的最高电压点、最低电压点、电容器所在节点、高压(110kV)侧节点及某些重要节点的电压不越限，从而简化了式(3)的约束条件而不会影响求解的正确性。
在上述内容的基础上，模型式(1)的求解过程概括如下：在满足无功就地平衡的条件下进行潮流计算得到式(1)的初始可行解并求出线性化系数，然后用原对偶路径跟踪内点法求解式(3)得到一个x，即得到一个ΔQ，更新Q再进行潮流计算，修正线性化系数，相应的按式(4)调整约束条件上下限后重新求解式 (3)，如此循环迭代直到收敛为止，最后进行归整。
3.2原对偶路径跟踪内点法
令cT=CT·Stp，将式(3)变换为只含变量x的模型后，令x1=x-xmin，通过引入松弛变量将x1上限约束及电压约束变为等式约束，在x1中添加松弛变量，在c中与松弛变量对应的位置添加零元素，相应地可将式(3)等效变换为一个标准的线性规划 问题式(5)，式(5)中A为系数矩阵，b为常数列矩阵，式(6)为式(5)的对偶问题，y、z分别为对偶变量和对偶松弛变量。
通过加入人工变量xn+1、ym+1和对偶松弛变量zn+1、zn+2，构成如下的增广原对偶问题
、(8)的第二个等式可以解出相应的x1n+2、zn+1，它们共同组成一组起始可行解。由前述可知式(5)的解x1不会超过［0，2e］，通过上面的方法求出的初始可行解与其最优解在数值上相差不大，使得初始对偶间隙减小，较好地避免了迭代时对偶间隙振荡。从初始可行解开始迭代，当人工变量趋于零时，为简便起见，相应矩阵划去人工变量所在的行和列。关于式(7)、(8)从初始可行解开始迭代求解的方法见文献［8］。求解完毕后，令x=x1+xmin进行还原。
3.3归整办法
在求解形如式(1)有整数约束的规划问题时，大都采用就近归整的办法，这可能使最优浮点解与最优整数解相差甚远或得到次优解。事实上目标函数系数C
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