胡国胜 任震 黄雯莹 朱锋锋 胡国胜
(华南理工大学电力学院广州510640)
(广东省科技干部学院广州510640)
摘 要 线调频小波变换统一了短时Fourier变换和小波变换的时频分析，并能根据信号的特点自适应生成新的时频窗口。本文首次将线调频小波变换引进电力系统的突变信号处理中。分析了其消噪和滤除干扰的原理；构造了线调频小波变换的算法。该算法不仅能解决文［9］中提出的消噪和滤除干扰的问题，还能解决文［8，10］中提出关于滤除整数(偶数)次和分数次谐波，并通过对电力系统突变信号处理的实例说明该算法的突出优点。
关键词 Fourier变换 小波变换 线调频小波变换 故障检测
1引言
近年来，短时Fourier变换和小波变换在电力系统故障诊断、检测、定位、识别以及信号消噪、重构等方面的应用也有很大的进展。短时Fourier变换是一种使用固定大小的时频分析窗口的Fourier变换，适用于分析具有固定不变带宽的突变信号；小波变换使用时间和频率轴可伸缩的长方形时频分析窗口，适用于分析具有固定比例带宽(恒Q，即滤波器品质因数不变)的突变信号。这些使得它们在电力系统中信号处理某些方面如干扰、偶次谐波和非整数次谐波滤波等的应用受到一定的限制。因此寻找具有近似等Q的时频窗口的时频分析工具是非常必要的，它除了时间平移，频率平移和时频拉伸外，还应考虑矩形窗口的斜方向的拉伸与旋转变化。
线调频小波变换满足上述要求，使用的时频分析窗口除了时移、频移、尺度变化以外，最主要的是包含了时频窗口在时频平面上的放置以及在倾斜方向上的尺度变化(拉伸)。由于使用各种长方形和各种平行四边形的时频窗口，所以线调频小波变换可以分析具有非固定不变带宽和非固定比例带宽(非恒Q)的突变信号。
信号的消噪、滤除干扰、压缩、恢复以及故障信号检测、诊断、识别、定位是电力系统信号处理的主要工作，其目的是尽可能地复原被噪声或干扰污染的信息源以及故障的特征和类型。严格地讲，干扰和噪声是两个不同的概念。干扰指周期的、有规律的误差信号(测量信号与真实信号的差)；而理论上不能预测的、必须用概率统计刻画划的误差信号定义为噪声。电力系统在采样信号时，现场存在大量噪声和干扰信号，严重影响了系统、设备监测的灵敏度和可靠性，因此消除干扰和滤掉噪声是电力设备监测的一个关键技术问题。
在电力系统中，快速傅立叶(FFT)阈值滤波法和最小均方误差(LMS)自适应滤波器是最常用的用来抑制干扰和消噪方法。但是，FFT阈值滤波不能消除平稳随机型干扰，而LMS自适应滤波器收敛性能受时延、收敛因子等参数的影响，滤波效果不稳定，甚至有时不收敛。基于小波变换的干扰滤波器研究不多，文［7］在干扰滤波方面作了尝试，它将干扰信号分为脉冲型干扰、连续周期型干扰和平稳随机型干扰。主要讨论连续周期型和平稳随机型干扰信号的抑制。仔细分析后，文中对平稳随机型干扰即白噪声进行了基于小波变换的分析处理，对有色噪声未涉及。对连续周期型干扰滤波论及不多，小波变换对这类干扰应该也不是有效的。文［10］论及到连续周期型干扰滤波问题，它提出了3次B样条小波对采样信号进行预处理的方法，可基本消除偶次谐波和1.5次以上非整数次谐波。但这种方法对谐波滤波也不理想。
本文采用线调频小波的方法，可以消去有色噪声以及处理［8，9，10］提出的三种干扰滤波以及偶数次和分数次谐波的滤波问题。
2 短时Fourier变换和小波变换
短时Fourier变换和小波变换是应传统Fourier变换不能够满足现代突变信号处理的要求而产生的。传统的Fourier变换适用于平稳信号的处理，短时Fourier变换是在其基础上的改进，它在一定程度上克服了Fourier变换不具有时频局部分析能力缺陷。然而，当窗函数g(t)确定后，矩形窗口的形状就定了，短时Fourier变换实质上是具有单一分辨率的分析。突变信号在信号波形变化剧烈的时刻，高频部分要求有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率；在低频端，情况相反。而短时Fourier变换很难满足要求。
小波分析的窗口面积固定但形状可改变。在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率。小波变换在时频平面不同位置具有不同的分辨率，是一种多分辨分析方法。它对突变信号的变化具有自适应性。基于小波变换的带通滤波器具有以下性质：中心频率与带宽的比与中心频率的位置无关，滤波器有一个恒定的相对带宽，称之为第Q结构(Q为滤波器的品质因数)［4］。<![endif]>
3线调频小波变换
合成算子+
与母函数φ(t)的时间平移、频率调制、时频拉伸和频率倾斜四种仿射时频变换之间存在四种关系［1］：(1)时间平移算子：
将短时Fourier变换和小波变换中的基信号统一表示成分析函数
显然，φ0,ω,0,0(t)为连续Fourier变换的分析函数，φb,ω,0,0(t)为短时Fourier变换的分析函数，而φb,0,α,0,0(t)为小波变换的分析函数。
母函数φ(t)小波包定义为具有φ(t)包络的所有小波的集合：
其中，小波的相移∈R为常数，σ决定窗口的宽窄，称为尺度参数。通常要求母函数φ(t)小波包具有单位能量，若记
，则单位能量的φ(t)小波包由下式定义：
将母函数φ(t)小波包加以推广，便得到关于φ(t)的线调频小波包［1］：
式中，q∈R代表线调频斜率。调频斜率q可正可负，正调频斜率对应为递增频率，负调频斜率对应递减频率。仿照短时Fourier变换和小波变换的内积表示法，定义任一平方可积信号f(t)∈L2(R)的连续线调频小波变换为
由于它是利用母函数φ(t)的线调频小波包(6)得到的变换，故称作关于φ(t)的线调频小波变换。Fourier变换、短时Fourier变换和小波变换都是连续线调频小波的特例。其中，连续Fourier变换定义为：FT(ω)=<f(t),φ0，ω，∞，0(t)>；连续短时Fourier变换定义为：STFT(b,ω)=<f(t),φb,ω，σ，0>；连续小波变换定义为：WT(b,σ)=<f(t),φb,0,σ，0(t)>。线调频小波变换可以提供分析短时Fourier变换和小波变换时频表示的统一框架。
4线调频小波变换算法
传统的滤波和干扰分离方法只限在时域或频域进行。如果信号或干扰有很强的时频耦合，即在时频平面呈现斜的分布，使得这些分布在时间轴或频率轴上的投影均有重叠，这时小波变换方法就难于在时域或频域得到好的滤波和干扰分离结果。线调频小波变换时频窗口除了时间平移、频率平移和时频拉伸外，还有斜方向的拉伸和旋转变化。它能很好地消除干扰。
线调频小波变换算法的思想基于两点考虑：(1)连续Fourier变换、短时Fourier变换以及小波变换，实质都是用基函数去匹配待处理的信号，寻找最相关基函数，线调频小波变换也不例外；(2)充分利用短时Fourier变换和小波变换的成熟算法，提高计算速度和减少计算量。所以线调频小波变换算法出发点是基于自适应匹配投影分解方法寻找与信号最相关的线调频小波基，从而达到消除干扰、滤除噪声和重构信号的目的。
自适应匹配投影分解方法［1］是将待分析的信号展开成一系列基函数的线性组合，其中这些基函数是根据投影能量为最大的准则(即信号与基函数的相关数最大)，从一个包含这些基函数的冗余的基函数集中挑选出来的。寻找最佳基函数的问题实质上是一个全局优化问题。考虑到变换式(7)中含有4个参数，因而通过四维空间的搜索找到最佳投影基的困难较大，而只能按照一定的搜索策略，进行一系列的一维或多维搜索来逼近这个最佳基，这是解决优化问题时所经常采用的方法。下面是改进的自适应匹配投影分解算法。
(1)计算主要信号分量σ、b和ω的近似值
假定待分析的信号是长度为N的实信号。由于采样率和信号长度的限制，b只能取在1和N之间。采用二进小波变换快速并行算法［12］，对每一个σ和相应的b，产生一小波函数
，计算φσ′，b′(n)与信号的内积。并计算内积的Fourier变换，找出频谱上的峰值点频率，该频率就对应于被小波函数φ(t)抽取出的信号的主要频率分量，记为ωb′。改变小波函数的尺度和相应的时间中心，产生新的小波，用同样的方法求出相应的峰值点频率。找出所有峰值点频率中的最大值ω′=max｛ωb′，b′∈［1，N］｝，这样ω′就是对应的主要信号分量的ω的近似值。相应的窗函数参数σ′和b′就是σ、b的近似值。
(2)计算σ、b的精确值
分别以近似值σ′和b′为中心，在其领域［σ′-δ，σ′+δ］内搜索与信号最匹配的小波函数。即σ′的改变不再以2的整数次方为步长，而是每次只增加1。采用与步骤1相似的步骤，那么所求出的全部峰值点频率中的最大值ω″=max｛ωb′′｝就是对应的主要信号分量的中心频率。虽然ω″仍不是精确值，但要比ω′更接近于ω。相应的σ和b就是尺度参数和时间中心的精确值。线调频小波变换公式(7)中只剩ω和q两参数。在ω和q的二维空间中，以投影值最大(即内积最大)为准则，搜索与Rn最匹配的线调频小波基。事实上，ω已有初值ω″，这样就能将ω的搜索范围限定在ω″的领域内进行。q值的确定可用最小二乘法算法。这一步的搜索完成后，得到ω和q的近似值ω″和q′。
(3)求ω和q的精确值
在第2步的基础上，将这2个参数范围限定在ω″和q′的较小的领域内。重复步骤(2)相似搜索，就得到比较精确的中心频率ω和q的值。如有必要可重复搜索多次，第一步都将缩小参数的搜索空间，以进一步提高参数的精度，同时设定阈值，以期作为结束搜索的标准。有了这4个参数之后，也就确定了最佳基函数eγn，它满足
其中Γ是四维指标集。
(4)残余信号更新
用残余信号Rn减去与之最匹配的信号<Rn，eγn>eγn，得到新的残余信号Rn+1。即
(5)重复步骤(1)~(5)，直到总的迭代次数超过其预置值，或直到残余信号Rn+1与原始信号的能量比低于一阈值。假设信号f(t)有m个相干成分(包括基波、整数谐波和分数谐波)，因而可用m个线调频小波基函数的线性组合来表示。
这一滤除噪声的机理，正是缘于信号的组成成分具有很强的相干性，而随机器噪声没有。
(6)在由上述(1)~(6)得到的最佳相关基函数中，置中心频率为偶数和分数的基函数前的系数为0时，就能滤除偶次数和分数次的谐波；置中心频率为整数(偶数和奇数)的基函数的系数为0时，就能滤除相应的整数谐波。
本文选用的小波母函数为三角样条小波函数，定义迭代关系式如下：
为n次三角样条小波，并具有下列的性质：①φ(x)具有局部支撑性，支撑集为：(0，n)；②φ∈C(n-2)(R)；③φ(x)是分片函数组成，它由基函数｛1，cos(x/2)，…，cos((2q-
5线调频小波变换在电机故障信号谐波检测中的应用
电机转子故障信号不仅包含随机噪声、基波，而且包含整数(奇数、偶数)倍数次和分数次的谐波干扰，也含有脉冲干扰。这是因为频率的微小变化、外来干扰、磁场变化、内部放电以及工作特性与频率有关的电力电子设备引起的。
图1以异步电机匝间短路(不同分支)的定子C相一分支距中心点15%匝比处经1kΩ阻抗接地的故障为例，说明线调频小波变换在信号消除噪声、滤除干扰、去除整数和分数谐波的有效性以及与小波变换结果的比较。
图(a)是定子C相故障电流，它含有基波、奇偶次谐波、分数谐波和噪声；图(b)是消噪后的信号；图(c)消除分数谐波后的结果；滤除偶数谐波后便得到图(d)；图(e)是滤除奇数次谐波后的信号。而对图(a)信号进行小波变换处理后，得到图(f)，不能直接进行谐波的滤除，而必须采用文［8，9，10］这样特殊处理，文［8，9，10］也只能解决某一方面的问题。相比而言，本文的方法就能统一解决问题。
6结论
(1)本文采用的线调频小波变换及其算法不仅可解决文［9］中的连续周期性干扰和随机白噪声问题，而且可滤除文［9］不能解决的Dirac脉冲干扰问题；
(2)本文的方法解决了文［10］中的偶次谐波和1.5次以上非整次谐波问题，同时对任何次的非整次谐波都有效；
(3)文［8］中的整数滤波和分数滤波也是本文算法第七步很容易解决的问题；
(4)线调频小波变换是初次应用到电力系统突变信号处理，还有一些问题有待解决，如算法的收敛性问题、母波的选择问题、快速并行算法的构造问题、实时监测问题等等。
7参考文献
1Mann S,Haykin S.Adaptive“chirplet”transform:an adaptive generalization of the wavelet transform［J］. Opt.Eng.,1992,31:1243~1256
2Charles K.An Introduction to Wavelets［M］.Academic Press,Inc.,1992
3Mallat S G,Zhang Z F.Matching pursuits with timefrequency dictionaries［J］.IEEE Trans Signal Processing,1993,11(12):3397~3415
4Qian S E,Chen D P.Signal representation via adaptive normalized Gaussian functions［J］.IEEE Trans Signal Processing,1988,36(1):1~11
5任震，黄群古，黄雯莹.基于实值小波变换的发电机故障检测新方法［J］.中国电机工程学报，2000，20(6)：58~60，68
6何建军，任震，黄雯莹，等.电力系统突变信号检测的一种实时小波算法［J］.中国科学，2000，30(1)：79~84
7任震，何建军，黄雯莹，等.基于小波包算法的电机故障信号的压缩和重构［J］.中国电机工程学报，2001，21(1)：25~29
8任震，黄群古，黄雯莹.两种小波变换方法及其在发电机故障信号分析中的应用［J］.中国电机工程学报，2000，20(10)：59~63
9胡明友，谢恒，蒋雄伟，吴欣延.基于小波变换抑制局部放电监测中平稳性干扰的滤波器的研究.中国电机工程学报，2000，20(1)：37~40
10张昊，石铁洪，刘沛.基于B样条小波预处理的短窗算法［J］.中国电机工程学报，2000，20(10)：50~54
11曾泳泓，成礼智，周敏.数字信号处理的并行算法［M］.长沙：国防科技大学出版社，1999.6
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